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          河北華利機械配件有限公司

          可操舵輪舵機手輪的移動機器人運動學建模

          2014/7/24 9:43:12


                  剛體在平面上實現自由運動即以任意位姿沿任意路徑運動必須有3 個自由度, 即2 個位置自由度和1 個方位自由度。但通常所見的各種輪式車輛包括汽車都只有2 個獨立的驅動和控制單元, 即均是2 個自由度的系統。因此, 車體在整個連續運動過程中, 不能既控制其位置又控制其方位。
                  也就是說,讓車體保持一定的方位, 就不能使車體沿任意方向運動。目前, 普遍使用的是2 自由度行走機構, 但2自由度移動機器人不能同時控制車體的位置和方位, 不具備良好的靈活性和機動性。當它在較為狹小的空間中作業時就不易實現指定任務, 例如, 泊車問題或移動機器人處于需要在運動過程中時常調整車體方位的狹長地帶等。這時需要移動機器人具有3 個或3 個以上的自由度, 對車體的位置和方位能獨立地進行控制, 可以以一定姿態沿任意的方向運動, 實現平面上的自由運動, 成為全方位移動機器人。
                  3自由度移動機器人的全方位性, 主要是指它具有能同時并獨立控制車體的回轉運動和平移運動的能力, 這主要依靠舵機手輪輪系機構來實現, 如麥卡姆輪機構、正交輪機構、球輪機構、可操舵驅動輪機構等??刹俣骝寗虞喤c其它輪系機構相比, 具有制造成本低、結構簡單、易于控制、運行平穩等優點,在工業、物流等領域中得到較廣泛的應用。當移動機器人具有n( n \2) 個可操舵驅動輪SDW( Steerableand Drivable Wheel) 時, 它可以實現平面上的自由運動, 即具有3 個自由度。本文針對由常規輪所構成的包含有舵機手輪可操舵輪的幾類移動機器人的運動學建模問題, 基于坐標變換法, 提出了一種解決具有舵機手輪可操舵驅動輪的移動機器人運動學建模的通用方法, 建立了它在滿足理想運動約束條件下的運動學模型, 并以具有2 個可操舵驅動輪的3 自由度移動機器人為例給出了運動學仿真結果。
                  1 坐標系的建立
                  移動機器人的運動軌跡是一條二維平面曲線,可用y= f ( x ) 描述, 也可用x ( t ) , y ( t ) 描述, t 是時間參數。對于3 自由度移動機器人而言, 它可以以任意姿態跟蹤任意曲線。設車體位姿描述方程為:N( t ) = [ x ( t) y ( t) H( t) ] T ( 1)則車體在t 時刻的線速度v 和角速度X 如下:v = (x 2 + y 2 ) 1/ 2 , X= H ( 2)針對具有n 個可操舵驅動輪的移動機器人的運動學建模問題, 其坐標系及位姿矢量:N= [ x y H]T2Og 是固定在大地上的全局坐標系, 2 Or 是固定在移動機器人上的坐標系, 其原點與車體中心對稱點GP 重合, Yr 軸與車體長度方向一致。CR 是i 個車輪的位置幾何中心, GP 為車體中心線上的一點, 它作為車體的參考點也稱為導引點, 該點的運動軌跡就是車體的運動軌跡。
                  2 運動學建模
                  移動機器人的運動學建模問題解決的是參考點(GP) 的定位問題, 即在已知車輪的舵機手輪操舵角Bi 和驅動速度vi 的情況下, 求解GP 點的位置及車體方位變化率x ( t ) ,y ( t ) ,H( t) 。運動學中一個重要的基本定理是, 一個平面剛體在每一時刻的運動不是繞某一瞬時回轉中心ICR( Instantaneous Center o f Rotation) 做回轉運動就是做平移運動, 平移運動可以視為ICR 在無限遠處的回轉運動。移動機器人作為在平面上運動的剛體, 它每一時刻都在做繞ICR 的回轉運動, 也就是說任意一點速度矢量的垂線相交在ICR。這就是移動機器人的運動幾何約束。求解移動機器人的運動學正解就是對參考點進行速度方向解析和速度解析。
                  2. 1 速度方向解析
                  對于具有n 個可操舵驅動輪的移動機器人而言, vi 為輪i 的驅動速度, 輪i 輪心在2Or 中坐標為( x r i , y ri ) , ICR 在2 OWi 中的坐標為( r Ii , 0) , r Ii 的絕對值| r Ii | 為輪i 瞬時回轉半徑, hc、h分別是ICR 在2Or 中的坐標, v 是車體參考點GP(Or ) 的速度。將GP 點沿v 方向虛擬成一個中間輪, B為虛擬輪的操舵角, 它與GP 點的速度方向及車體前進方向的夾角相等, 即體現車體速度方向與車體前進方向不一致的程度, rI 是虛擬輪的瞬時回轉半徑。通過上述分析可以認為GP 點在每一時刻繞ICR 做回轉運動。
                  已知Bi 和v i ( i= 1, 2, ,, n) ,速度方向解析求解B和r I。圖3 中的結構可以等同為一并聯機構, 2 Or 可以依次沿輪i 和虛擬輪經過一系列平移和回轉運動返回原處。沿輪i 的運動序列為: 先沿X r 軸和Yr軸平移x ri , y ri 運動至i 輪中心處, 繞i 輪中心做一回轉運動( 轉角Di = f ( Bi ) ) 使坐標系與車輪坐標系2OWi方向一致, 再沿各自車輪坐標系的YW 軸和X W 軸方向平移r Ii 運動至ICR 處, 繞ICR 反轉Di ,再沿X r 軸和Yr 軸做平移運動至車體坐標系原點Or , 與車體坐標系重合。
                  沿虛擬輪的運動序列為: 繞Or 做一回轉運動( 轉角Dc= f (B) ) 使坐標系與虛擬輪坐標系方向一致, 沿車輪面垂線方向做一平移運動至ICR 處, 繞ICR 反轉Dc, 再沿X r 軸和Yr 軸做平移運動至車體坐標系原點Or , 與車體坐標系重合。這一系列運動可以用坐標變換來表示, 則舵機手輪車體坐標系2 Or 對自身的齊次變換有以下分解形式。由圖3 可看出, 如果任意兩個車輪j 1、j 2 的操舵角確定后, j 1 、j 2 的瞬時回轉半徑的交點就是ICR, 那么根據其操舵角、I CR 以及操舵軸軸心位置可以得到其余車輪的操舵角Bi ( i X j 1 , j 2 ) 。
                  設已知輪j 1、j 2 的操舵角Bj1、Bj2 , 求解式( 3) ( 4) 方程, 根據矩陣相等原則, 可以解出hc、h 以及所有車輪( 包括虛擬輪) 的瞬時回轉半徑r Ii ( i= 1, 2, ,, n) 如下:hc = [ sinBj1 cosBj2 x r j1 - co sBj1 sinBj2 x rj2 -cosBj1 cosBj2 ( y rj1 - y rj2 ) ] / sin( Bj1 - Bj2 ) ( 5)h = [ sinBj1 sinBj2 ( x rj1 - x r j2 ) - cosBj1 sinBj2 y rj1 +sinBj1 cosBj2 y rj2 ] / sin( Bj1 - Bj2 ) ( 6)由式( 5)、( 6) 可得:B= tan- 1 ( h/ hc) ( 7)則:r Ii = cosBi ( hc- x ri ) + sinBi ( h - y r i ) ( 8)r I = ( hc2- h2)1/ 2( 9)解得的B是在2 Or 中的速度方向。
                  在2 Og 下車體的速度方向為:Bg = H+ B ( 10)2 自由度移動機器人的瞬時回轉中心始終位于機器人坐標系中的X r 軸上, 因此有hc X 0, h = 0。由式( 7) 可得B= 0, 其速度方向與方位一致, 由于速度方向是軌跡的時間函數, 因此其方位也是軌跡的時間函數。
                  2. 2 速度解析
                  移動機器人的運動可視為平面上的剛體運動,也就是說機器人上任意點的回轉角速度都等于繞瞬時回轉中心的角速度, 即:H= HWi = v i / r Ii ( 11)由式( 5)、( 6) 可知, 如果其中兩個車輪j 1、j 2 的操舵角給定, 那么機器人的瞬時回轉中心ICR 的位置就已確定, 由式( 7)、( 8) 可以求出輪i 的瞬時回轉半徑;
                  只要輪j 1、j 2 之一的速度給定, 根據式( 11) 就可求出機器人的回轉角速度; 同時根據剛體平面運動性質v i=H@ rIi 就可確定其余車輪的驅動速度。通過上面分析可知, 對于具有n 個SDW 的一類移動機器人, 要實現平面上的自由運動, 至少需要2 個SDW。速度解析求解車體的速度v , 只需給定Bj 1 、Bj 2、v j 1 ( 或Bj 1 、Bj 2、v j 2 ) , 根據式( 11) 通過運動解析得到車體在2Or 中的速度分量如下:vrx = ( vi / rIi ) r IcosBvr y = ( vi / r Ii ) r IsinBHr = vi / r Ii( 12)將式( 12) 通過向全局坐標系2Og 投影得到3 自由度移動機器人的運動學模型:N=x= vrx cosH- v ry sinHy= v rx sinH+ vry cosHH= Hr( 13)
                  3 運動學仿真
                  描述了剛體可以實現的三種平面運動方式, 即切向運動、恒向運動、一般運動。切向運動是指運動方向與軌跡切線方向一致即與速度方向一致; 恒向運動是指運動過程中運動方向不變; 一般運動可以等價為一個平移運動和一個回轉運動的疊加, 此時舵機手輪運動方向可以是任意的。3 自由度移動機器人可以實現以上三種運動方式, 而2 自由度移動機器人只能實現切向運動。以具有兩個可操舵驅動輪的3 自由度移動機器人為例, 采用MA TLAB6. 5 進行運動學仿真。
                  仿真條件: 速度范圍為v1 , v2 I [ 0, 1. 5m/ s] ; 操舵角范圍為B1 , B2 I [ - 90b, 90b] ; 初始位姿N= [ 40m, 0, 0]T 。圖5a、b 分別是輪1、2 的速度及操舵角曲線。根據式( 13) 得到移動機器人在全局坐標系中的速度分量, 由航位推算法得到圖5c 的運動軌跡。是移動機器人的方位及速度方向曲線, 其速度方向就是機器人軌跡曲線的切向, 通過求解式( 10) 獲得機器人的方位曲線。由圖可以看出, 車體方位和車體速度方向不一致, 車體速度方向是軌跡的切向, 而車體方位是由移動機器人的運動參數決定的, 即式( 11) , 這時移動機器人實現了一般運動。當把兩個驅動輪的舵角始終置為相等, 由于非完整運動約束的限制, 兩個驅動輪的速度也應相等。圖6a、b 分別是輪1、2 的速度及操舵角曲線, 圖6c、d 分別是移動機器人的運動軌跡和方位及速度方向曲線。由圖6d 可看出, 當輪1、2 的操舵角始終一致時, 車體的方位不發生改變, 與初始方位一致,這時機器人以恒定方位沿曲線運動, 實現了恒向運動。當舵機手輪操舵角恒為零時, 成為差速驅動的移動機器人, 此時只能實現切向運動。對于工業用移動機器人, 要求它在車間或倉庫能自由運動并能夠實現在工況點精確定位, 與差速驅動或車式的2 自由度移動機器人相比, 3 自由度移動機器人具有更大的靈活性和機動性, 它可以在狹小的空間實現繞任意點轉彎、橫走等運動功能。
                  4 結 語
                  3自由度移動機器人可以實現平面上的自由運動, 獲得位置和方位的獨立跟蹤控制, 具有很高的靈活性和機動性。針對具有n ( n \ 2) 個可操舵驅動輪的3 自由度移動機器人的運動學建模問題, 基于坐標變換提出了一種滿足理想運動約束條件下的運動學建模通用方法, 并以具有2 個舵機手輪可操舵驅動輪的移動機器人為例進行了仿真驗證。

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